Statistics

このページを編集する

統計入門

１次元データ

代表値 averages

　分布のしかたを中心的な値で示したもの。平均、中央値、最頻値

平均 mean （算術平均　arithmetic mean）
　観測値　 $x_1,x_2,\cdots,x_n\,$ の和をデータ数 $\,n\,$ で割ったもの

$\overline x \equiv \frac 1n \sum_{i=1}^n x_i$

$\overline x \equiv \frac 1n \sum_{i=1}^n x_i}$

メディアン、中央値　median
　観測値を大きさの順に並べ替えたときの中央の値
　データ数が偶数の時の取扱い

モード、最頻値　mode
　分布の峰に対応する値

散らばりの尺度

レンジ、範囲 range
　最大値と最小値の幅
　 $R \equiv \text{max}\,(x_1,x_2,\cdots,x_n)-\text{min}\,(x_1,x_2,\cdots,x_n)$

平均偏差 mean deviation
　偏差deviation( $|x_i - \overline x|$ ) の平均
　 $d \equiv \frac 1n \sum_{i=1}^n |x_i - \bar x|$

分散 variance
　偏差を絶対値ではなく、２乗した上での平均

$s^2_x \equiv \frac 1n \sum_{i=1}^n (x_i - \overline x)^2 = \frac 1n \sum_{i=1}^n x^2_i - \overline x^2$

標準偏差 standard deviation
　分散の平方根（dimensionを同じくする）

$s_x \equiv \sqrt {s_x^2$

変動係数 coefficient of variation
　分布の中心が著しく異なる場合など、平均を考慮した上での比較（無名数）（平均が大きいと分散が大きい場合など）
　 $C.V. \equiv \frac {s_x}{\overline x}$

分布の形状

歪度　skewness 分布の非対称性を示す。値が正の時は、右すそが伸びている。

$\alpha_3 \equiv \frac 1n \sum_{i=1}^n\left(\frac {x_i - \overline x}{s_x}\right)^3$

尖度 kurtosis 分布の尖り具合を示す。

$\alpha_4 \equiv \frac 1n \sum_{i=1}^n\left(\frac {x_i - \overline x}{s_x}\right)^4$

中央値 median

値が点の場合で有効ケース数が偶数（ $2n$ ）の時には２方法がある。

ジニ係数 Gini Coefficient　不平等度の指標　（ただし、 $\mu \equiv \overline x$ 　）

$G \equiv \frac {1}{2 \mu n^2} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |x_i - x_j|$

２次元データ

相関関係　２変数間の関係。特に直線関係を指す場合が多い。

相関係数 correlation coefficent
　通常、ピアソンの積率相関係数product-moment correlation coefficient を指す。

$r_{xy} \equiv \frac {\sum (x_i - \bar x)(y_i - \bar y)/n}{\sqrt {\sum (x_i - \bar x)^2/n} \sqrt {\sum (y_i - \bar y)^2/n}} }}} {= \frac {\sum (x_i - \bar x)(y_i - \bar y)}{\sqrt {\sum (x_i - \bar x)^2}\sqrt{\sum(y_i - \bar y)^2}}$

　ここで、分母は変数 $x,y$ それぞれの標準偏差である。分子は $x$ の偏差 $x_i-\bar x$ と $y$ の偏差 $y_i -\bar y$ を同時に考慮した場合の平均で、共分散 covariance という。

回帰直線、回帰方程式
　 $x$ を独立変数、 $y$ を従属変数としたとき、
　 $y=bx+a$
という直線関係が想定されるとする。
この場合、 $\sum \{y_i - (bx_i + a)\}^2$ を最小とする、a,bを求めると、
$\qquad b = \frac {\sum x_i y_i -n\bar x \bar y}{\sum x_i^2 -n\bar x^2}$ ,
$\qquad a=\bar y - b \bar x$